Question

【题目】已知函数，（其中）

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）若，求证：函数有唯一的零点.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式可得 ，导函数的零点为，据此分类讨论可得：当时， 在单调递增，在单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在单调递增，在在单调递减.

(2)由题意可得：若，则导函数的零点为，结合导函数与原函数的关系可得当时， 取得极小值，且易证明在区间上， ，而，有函数零点存在定理可知当时，函数有唯一的零点.

试题解析：

（1）的定义域为，

，

令，即，

①当，即时， 是上的增函数；

②当，即时，当时， 单调递增，当时，

单调递减；当时， 单调递增；

③当，即时，当时， 单调递增；当时， 单调递减；当时， 单调递增；

综上所述，当时， 在单调递增，在单调递减；

当时， 在单调递增；

当时， 在单调递增，在在单调递减.

（2）若，令，即，得，

当时， 单调递减，当时， 单调递增，

故当时， 取得极小值，

以下证明：在区间上， ，

令，则，

，

因为，不等显然成立，故在区间上， ，

又，即，故当时，函数有唯一的零点.