题目内容
设椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| F1P |
| F1Q |
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）证明：
| F2M |
| F2Q |
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．
分析：（1）由椭圆、抛物线的标准方程，列方程求解；（2）因为
=λ
，所以y1=λy2，要证
=-λ
，只需证明
x1-1═-λ（x2-1）由直线和抛物线联立可得x1x2=1，故只需证明x1=λ，x2=
，这个结论由联立式和向量式可得；（3）只需将|PQ|表示为关于λ的函数，求函数最值即可．
| F1P |
| F1Q |
| F2M |
| F2Q |
x1-1═-λ（x2-1）由直线和抛物线联立可得x1x2=1，故只需证明x1=λ，x2=
| 1 |
| λ |
解答：解：（1）依题意，
，又a2=b2+c2，解得
，故椭圆方程为
+
=1
∵F2（1，0），设抛物线方程为y2=2px，则
=1，p=2，故抛物线方程为y2=4x
（2）∵F1（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，-y1）
由
得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，△＞0时，x1x2=1 （1）
又∵
=λ
，∴x1+1=λ（x2+1）（2），y1=λy2
由（1）（2）得，x1=λ，x2=
=（x1-1，-y1）=（λ-1，-y1）
-λ
=-λ（x2-1，y2）=（λ-1，-λy2）
故
=-λ
（3）由（2）知 可取 P（λ，
），Q（
，
），则|PQ|=
=
∵λ∈[2，3]，∴λ+
∈[
，
]，∴|PQ|∈（
，
）
故|PQ|∈（
，
）
|
|
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∵F2（1，0），设抛物线方程为y2=2px，则
| p |
| 2 |
（2）∵F1（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，-y1）
由
|
又∵
| F1P |
| F1Q |
由（1）（2）得，x1=λ，x2=
| 1 |
| λ |
| F2M |
-λ
| F2Q |
故
| F2M |
| F2Q |
（3）由（2）知 可取 P（λ，
| 4λ |
| 1 |
| λ |
|
(λ-
|
(λ+
|
∵λ∈[2，3]，∴λ+
| 1 |
| λ |
| 5 |
| 2 |
| 10 |
| 3 |
(
|
(
|
故|PQ|∈（
| 17 |
| 4 |
| 112 |
| 9 |
点评：此题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系，特别是与向量的结合，是问题具有一定难度．
练习册系列答案
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设椭圆
+
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、x2+y2=a2 |
| B、x2+y2=b2 |
| C、x2+y2=c2 |
| D、x2+y2=e2 |