Question

（理科）某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是

2

3

，（1）若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；
（2）若5人中恰有r人合格的概率为

80

243

，求r的值；
（3）记测试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．

Answer 1

（1）由题意可得：老师进行选择时共有6种不同的选法，体育教师不坐后排的不同选法有C₃¹=3种，
记“体育教师不坐后排”为事件A，则P(A)=

C31

C61

=

1

2

．-----（4分）
（2）每位考生测试合格的概率P=

2

3

，测试不合格的概率为1-P=

1

3

则P5(r)=C5rPr(1-P)5-r=

80

243

，即C5r(

2

3

)r(

1

3

)5-r=

C5r2r

35

=

80

243

，
∴C₅^r2^r=80，解得：r=3，4．
（3）由题意可得：ξ～B(5，

2

3

)，
∴Eξ=5×

2

3

=

10

3

，Dξ=5×

2

3

×

1

3

=

10

9

----（12分）