Question

（2012•泉州模拟）已知函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明：

π

4

＜α＜

5π

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），建立方程，即可求得函数的解析式；
（Ⅱ）先确定直线l的方程为：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，利用T在直线l上，可得实数t必为方程

2

t

+elnt-e=0，构造函数g(t)=

2

t

+elnt-e，确定函数的单调性，从而可得t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在区间(0，

2

e

]内的唯一一个解，由此可证结论；
（Ⅲ）先证明1＜tanα=

e

t

＜e，利用y=tanx在(0，

π

2

)单调递增，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由f(x)=

1

x

+clnx，得f′(x)=-

1

x2

+

c

x

．…（1分）
∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），
∴f′(s)=-

1

s2

+

c

s

=

cs-1

s2

=0，…①且f（s）=

1

s

+clns=0…．②…（2分）
联立①②得c=e，s=

1

e

．…（3分）
∴f(x)=

1

x

+elnx．…（4分）
（Ⅱ）证明：f′(x)=-

1

x2

+

e

x

．
∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，
∴直线l的方程为：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，
又∵T在直线l上，∴实数t必为方程

2

t

+elnt-e=0…．③的解．…（5分）
令g(t)=

2

t

+elnt-e，则g′(t)=-

2

t2

+

e

t

=

et-2

t2

，
解g′（t）＞0得t＞

2

e

，g′（t）＜0得0＜t＜

2

e

．
∴函数y=g（t）在(0，

2

e

]递减，在(

2

e

，+∞)递增．…（7分）
∵g(

1

e

)=0，且函数y=g（t）在(0，

2

e

)递减，
∴t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在区间(0，

2

e

]内的唯一一个解，
又∵f(

1

e

)=0，∴t=

1

e

不合题意，即t＞

2

e

．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，g(e)=

2

e

＞0，函数y=g（t）在(

2

e

，+∞)递增，
∴必有1＜t＜e．…（9分）
（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t）），S(

1

e

，0)
∴tanα=kST=

f(t)-0

t-s

=

1 t +elnt

t- 1 e

，
由③得tanα=

1 t +elnt

t- 1 e

=

e

t

，…（10分）
∵t＞0，且0≤α＜π，∴0＜α＜

π

2

．
∵1＜t＜e，∴1＜tanα=

e

t

＜e，…（11分）
∵tan

π

4

=1，tan

5π

12

=tan(

π

6

+

π

4

)=

tan π 6 +tan π 4

1-tan π 6 tan π 4

=2+

3

＞e，…（13分）
∴tan

π

4

＜tanα＜tan

5π

12

，
∵y=tanx在(0，

π

2

)单调递增，∴

π

4

＜α＜

5π

12

．…（14分）

点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式、直线方程和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想．