题目内容
19．求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$的双曲线方程．分析 先假设双曲线方程，再将直线代入双曲线方程，进而借助于弦长公式，即可求得双曲线方程
解答 解：设所求双曲线的方程为x2-4y2=k（k≠0），
将y=x-3代入双曲线方程得3x2-24x+k+36=0，
由韦达定理得x1+x2=8，x1x2=$\frac{k}{3}$+12，
由弦长公式得$\sqrt{1+1}$|x1-x2|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64-\frac{4k}{3}-48}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得k=4，
故所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1．
点评 本题考查的重点是双曲线方程，解题的关键是利用双曲线的性质，待定系数法假设双曲线方程．
练习册系列答案
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