题目内容

正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则侧棱与底面所成的角大小为
arccos
2
2
3
arccos
2
2
3
．
分析：欲求侧棱与底面所成的角大小，需找到侧棱在底面上的射影，根据正四棱锥的性质，过顶点向底面作垂线，垂足必落在底面的中心处，这样侧棱与它的射影所成的角即为侧棱与底面所成的角，再放入直角三角形中，通过解三角形求出该角．
解答：解：如图，过正四棱锥的顶点S向底面作垂线，垂足必落在底面中心O处．
连接AO，则AO=
2
2
×4=2
2

∴AO为侧棱SA在底面ABCD内的射影，
∠SAO为侧棱与底面所成的角．
在Rt△SAO中，cos∠SAO=
AO
SA
=
2
2
3
，
∴∠SAO=arccos
2
2
3

故答案为arccos
2
2
3
点评：本题主要考查了正四棱锥中直线与平面所成角的求法，综合考查了学生的空间想象力，作图能力，以及计算能力．
练习册系列答案
相关题目
正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为
8
5
8
5
．
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；
（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积
16
3
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为
16
3
，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为
16
3
，求所有侧面面积之和的最小值”．
现有正确命题：过点A(-
p
2
，0)的直线交抛物线C：y2=2px（p＞0）于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F．
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．
（2006•上海）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为
16
3
16
3
．
（2007•上海）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积
16
3
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为
16
3
，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为
16
3
，求所有侧面面积之和的最小值”．
试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．

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