题目内容
如图,六棱锥的底面是边长为1的正六边形,
底面
。
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若直线PC与平面PDE所成角的正弦值为,求六棱锥
高的大小。
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
解析试题分析:(Ⅰ)由线线垂直得到线面垂直CD⊥平面PAC,进而求证出面面垂直;(Ⅱ)设AP=h,求出平面PDE的一个法向量,再由线面成角的正弦值得到关于h的方程,解出即可.
试题解析:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中,CD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCDEF,CDÌ平面ABCDEF,所以CD⊥PA.
又AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC.
因为CDÌ平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.
(Ⅱ)如图,分别以AC,AF,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.
设AP=h(h>0).
则P(0,0,h),C(,0,0),D(
,1,0),E(
,
,0).
=(
,0,-h),
=(
,1,-h),
=(-
,
,0).
设面PDE的一个法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·
=0,
所以取n=(h,
h,2
).
记直线PC与平面PDE所成的角为θ,则
sinθ=|cosá,nñ|=
=
,
由=
,解得h=
.
所以六棱锥P-ABCDEF高为.
考点:1、面面垂直的求证;2、向量法求线面成角.
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