题目内容
(本小题满分12分)
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=2,E,F分别是D1B,AD的中点,
(1)建立适当的坐标系,求出E点的坐标;
(2)证明:EF是异面直线D1B与AD的公垂线;
(3)求二面角D1—BF—C的余弦值.
(1)E点坐标为(1,1,1). (2)见解析;(3)二面角D1—BF—C的余弦值为.
【解析】(1) 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则易确定A、B、C的坐标分别为A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0).设D1(0,0,2m)(m>0),则E(1, 1, m).
(2)利用向量垂直的坐标运算证明和即可.
(3)利用向量法求二面角,首先求出两个面的法向量,再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小.
(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A、B、C的坐标分别为A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0).
设D1(0,0,2m)(m>0),则E(1, 1, m).
故E点坐标为(1,1,1). …………………4分
(2)由(I)可知,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体.
又∵FD=1, ∴F(1,0,0),
故EF是AD与D1B的公垂线. …………………8分
(3)设n⊥平面FD1B,n=(x,y,z)
取n0=(2,-1,1), …………………10分
则n0与所成角θ等于二面角D1—FB—C的平面角,
∴二面角D1—BF—C的余弦值为 …………………12分
解法二:(Ⅲ)延长CD交BF延长线于P,作DN⊥BP于N,连ND1,
∵DD1⊥平面ABCD, ∴ND1⊥BP,
∴∠DND1就 是二面角D1—FD—C的平面角. ……10分
在Rt△DFP中,DP=2,FD=1,FP=,
∴二面角D1—BF—C的余弦值为. ……………………12分