题目内容

(本小题满分12分)

正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=2,E,F分别是D1B,AD的中点,

(1)建立适当的坐标系,求出E点的坐标;

(2)证明:EF是异面直线D1B与AD的公垂线;

(3)求二面角D1—BF—C的余弦值.

 

【答案】

(1)E点坐标为(1,1,1). (2)见解析;(3)二面角D1—BF—C的余弦值为.

【解析】(1) 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则易确定A、B、C的坐标分别为A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0).设D­1(0,0,2m)(m>0),则E(1, 1, m).

   

(2)利用向量垂直的坐标运算证明即可.

(3)利用向量法求二面角,首先求出两个面的法向量,再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小.

(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A、B、C的坐标分别为A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0).

设D­1(0,0,2m)(m>0),则E(1, 1, m).

故E点坐标为(1,1,1).                                  …………………4分

(2)由(I)可知,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体.

又∵FD=1, ∴F(1,0,0),

故EF是AD与D1B的公垂线.                                  …………………8分

(3)设n⊥平面FD1B,n=(x,y,z)

       

        取n0=(2,-1,1),                               …………………10分

        则n0所成角θ等于二面角D1—FB—C的平面角,

       

∴二面角D1—BF—C的余弦值为                          …………………12分

解法二:(Ⅲ)延长CD交BF延长线于P,作DN⊥BP于N,连ND1

        ∵DD1⊥平面ABCD,       ∴ND1⊥BP,

∴∠DND1就   是二面角D1—FD—C的平面角.       ……10分

在Rt△DFP中,DP=2,FD=1,FP=,  

∴二面角D1—BF—C的余弦值为.    ……………………12分

 

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