Question

椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,焦距为2,过F₁作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F₁的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF₂B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

Answer 1

(1) +=1   (2)存在，斜率k的取值范围为-<k<

解:(1)依题意
解得a²=4,b²=3,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)①当过F₁的直线AB的斜率不存在时,
不妨取A（-1,）,B（-1,-）
则·=,显然∠AF₂B不为钝角.
②直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),
由
消去y,整理得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0.
∵直线l与椭圆交于两点,
∴Δ=(8k²)²-4(3+4k²)(4k²-12)=4×36(k²+1)>0.
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则x₁+x₂=-,x₁·x₂=.
=(x₁-1,y₁),=(x₂-1,y₂).
∵∠AF₂B为钝角,
∴·<0.
即(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂<0,
整理得(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1<0.
即(k²+1)·-(k²-1)·+k²+1<0,
整理得7k²<9,
解得-<k<.
∴存在满足条件的直线l,
其斜率k的取值范围为-<k<.