Question

已知平面内点M（-3，2），N（5，-4），l是经过点A（-1，-2）且与MN垂直的直线，动点P（x，y）满足

PM

•

PN

=-21．
（1）求直线l的方程与动点P的轨迹Σ的方程；
（2）在轨迹Σ上任取一点P，求P在直线l右下方的概率．

Answer 1

（1）由题意kMN=

-4-2

5-(-3)

=-

3

4

，kl=-

1

kMN

=

4

3

…（2分），
所以直线l的方程为y-(-2)=

4

3

[x-(-1)]，即4x-3y-2=0…（3分），
又

PM

=(-3-x，2-y)，

PN

=(5-x，-4-y)…（4分），
由

PM

•

PN

=-21得（-3-x）（5-x）+（2-y）（-4-y）=-21…（5分），
整理得，轨迹方程为（x-1）²+（y+1）²=4…（6分）
（2）轨迹Σ是圆心为C（1，-1）、半径r=2的圆…（7分），
C到直线l的距离d=

4×1-3×(-1)-2

5

=1…（8分），
所以d=1＜r，直线l与圆Σ相交…（9分），
设交点为E、F，则cos

1

2

∠ECF=

d

r

=

1

2

…（10分），所以∠ECF=

2π

3

…（11分），
所以圆C的优弧EF的长为r•(2π-∠ECF)=

8π

3

…（12分），
因为P在直线l右下方，所以P在优弧EF上，所求概率为P=

8π 3

2πr

=

2

3

…（14分）