Question

已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）•f（y）；
③f（n）∈N； ④当x＞y时，有f（x）＞f（y）．　（1）求f（1），f（3）的值．
（2）由f（1）f（2），f（3）的值，猜想f（n）的解析式．　 （3）证明你猜想的f（n）的解析式的正确性．

Answer 1

解：（1）：∵f（2）=f（2×1）=f（2）•f（1），又f（2）=2，∴f（1）=1．又∵f（4）=f（2•2）=f（2）•f（2）=4，2=f（2）＜f（3）＜f（4）=4，且f（3）∈N．∴f（3）=3．
（2）由f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3猜想f（n）=n（n∈N）．
（3）用数学归纳法证明：
①当n=1时，f（1）=1，函数解析式成立；
②假设n≤k时，f（k）=k，函数解析式成立；
（i）若k+1=2m（m∈N），f（k+1）=f（2m）=f（2）•f（m）=2m=k+1．
（ii）若k+1=2m+1（m∈N），f（2m+2）=f[2（m+1）]=f（2）•f（m+1）=2（m+1）=2m+2，2m=f（2m）＜f（2m+1）＜f（2m+2）=2m+2．∴f（2m+1）=2m+1=k+1．
即n=k+1时，函数解析式成立．
综合①②可知，f（n）=n（n∈N）成立．
分析：（1）：由已知可得f（2）=f（2×1）=f（2）•f（1），结合f（2）=2，可求f（1），由f（4）=f（2•2）=f（2）•f（2）=4，及2=f（2）＜f（3）＜f（4）=4，且f（3）∈N可求f（3）
（2）由f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3猜想f（n）=n（n∈N），
（3）然后利用数学归纳法证明即可
点评：本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值，及归纳推理的应用，数学归纳法在证明数学命题中的应用，属于综合性试题