Question

已知函数g（x）=

1

2

mx²-2x+l+ln（x+l）（m≥1）．
（1）若曲线C：y=g（x）在点P（0，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：函数g（x）存在单凋减区间[a，b]；
（3）若c=b-a，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线的方程，由切线l与曲线C有且只有一个公共点，转化为二者的方程联立的方程组有且只有一个解0，再利用导数即可得出；
（2）函数g（x）存在单凋减区间[a，b]?g^′（x）＜0，再由m≥1，x＞-1，利用二次函数的性质即可证明；
（3）利用（2）的结论及一元二次方程的根与系数的关系及不等式的性质即可求出．

解答：解：（1）∵函数g（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1），定义域为（-1，+∞）．
∴g′(x)=mx-2+

1

x+1

，∴g^′（0）=-2+1=-1．
∴切线l的方程为：y-1=-x，即y=-x+1，
∵切线l与曲线C有且只有一个公共点，
∴

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一个解0．
令h（x）=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，
则h^′（x）=mx-1+

1

x+1

=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

，
①当m=1时，h′(x)=

mx2

x+1

≥0，h（x）在（-1，+∞）上单调递增，满足有且只有一个解0．
②当m＞1时，(

1

m

-1)∈(-1，0)，令h^′（x）=0，解得x=0或

1

m

-1．
列表如下：
由表格画出图象：当x→-1时，h（x）→-∞，h(

1

m

-1)＞h(0)=0，故在区间(-1，

1

m

-1)内还有一个交点，
即方程h（x）=0由两个实数根，与已知有且仅有一个解矛盾，应舍去．
综上可知：只有m=1满足题意．
（2）由g′(x)=mx-2+

1

x+1

=

mx2+(m-2)x-1

x+1

＜0（x＞-1）?mx²+（m-2）x-1＜0．
令f（x）=mx²+（m-2）x-1（x＞-1，m≥1）．
则△=（m-2）²+4m=m²+4＞0，且其对称轴x=-

m-2

2m

=

1

m

-

1

2

＞-1，
f（-1）=1＞0，
∴函数f（x）在（-1，+∞）上必有两个不等实数根a=

(2-m)- m2+4

2m

，b=

(2-m)+ m2+4

2m

．
使得函数g（x）在区间[a，b]上单调递减．
（3）由（2）可知：a+b=

2-m

m

，ab=-

1

m

，
∴c=b-a=

(b-a)2

=

(b+a)2-4ab

=

1+ 4 m2

，
∵m≥1，∴1＜

1+ 4 m2

≤

5

．
∴c的取值范围是(1，

5

]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的性质及“三个二次”的关系是解题的关键．