题目内容

【题目】已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点,
(1)求实数m的取值范围;
(2)求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程.

【答案】
(1)解:圆x2+y2+x﹣6y+m=0,可化为(x+ 2+(y﹣3)2=﹣m+

∴﹣m+

∴m<8;


(2)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),

由题意得:OP、OQ所在直线互相垂直,则kOPkOQ=﹣1,∴x1x2+y1y2=0,

又因为x1=3﹣2y1,x2=3﹣2y2

所以(3﹣2y1)(3﹣2y2)+y1y2=0,即5y1y2﹣6(y1+y2)+9=0①,

将直线l的方程:x=3﹣2y代入圆的方程得:5y2﹣20y+12+m=0,

所以y1+y2=4,y1y2=

代入①式得:5× ﹣6×4+9=0,解得m=3,

故实数m的值为3


【解析】(1)利用圆心到直线的距离小于半径,即可求实数m的取值范围;(2)设点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),由题意得OP、OQ所在直线互相垂直,即kOPkOQ=﹣1,亦即x1x2+y1y2=0,根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式,联立直线方程、圆的方程,消掉x后得关于y的二次方程,将韦达定理代入上述表达式可得m的方程,解出即可.

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