Question

求证：当f（x）=ax²+bx+c（a≠0）时，方程ax²+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x₀∈R使得a•f（x₀）＜0．

Answer 1

证明：必要性：设方程ax²+bx+c=0有不等实根x₁＜x₂，
根据韦达定理有x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，
取x₀=

x1+x2

2

=-

b

2a

，代入函数解析式可得
f（x₀）=a(-

b

2a

)2+b(-

b

2a

)+c=

4ac-b2

4a

，
因为方程有两个实根，所以b²-4ac＞0，
所以a•f（x₀）=

4ac-b2

4

＜0成立；
充分性：如果存在x₀使得a•f（x₀）＜0，即a²x²+abx+ac＜0在x=x₀处成立，
因为a²＞0，根据二次函数特点，x=-

ab

2a2

处，a²x²+abx+ac 取得最小值，
为f（-

ab

2a2

）=ac-

b2

4

，既然它是最小值，那么f（-

ab

2a2

）≤f（x₀）＜0，
所以ac-

b2

4

＜0，即b²-4ac＞0，故原方程必然有2个不等实根；
综上可得：方程ax²+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x₀∈R使得a•f（x₀）＜0．