Question

设函数f（x）=lnx-2ax．
（1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为直线l，且直线l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，再根据直线l与圆
（x+1）²+y²=1相切得到d=r，建立等式关系，解之即可求出a的值；
（2）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）依题意有，f′（x）=

1

x

-2a．
因此过（1，f（1））点的直线的斜率为1-2a，又f（1）=-2a，
所以，过（1，f（1））点的直线方程为y+2a=（1-2a）（x-1）．
即（2a-1）x+y+1=0
又已知圆的圆心为（-1，0），半径为1，
依题意，

|1-2a+1|

(2a-1)2+1

=1，
解得a=

1

2

．
（2）依题知f（x）=lnx-2ax的定义域为（0，+∞），
又知f′（x）=

1

x

-2a
因为a＞0，x＞0，令

1

x

-2a＞0，则1-2ax＞0
所以在x∈（0，

1

2a

）时，f（x）=lnx-2ax是增函数；
在x∈（

1

2a

，+∞）时，f（x）=lnx-2ax是减函数．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数单调性和直线圆的位置关系的判定，同时考查了转化与划归的思想，计算的能力，属于基础题．