题目内容

离心率为
2
的双曲线C1
y2
a2
-
x2
b2
=1上的动点P到两焦点的距离之和的最小值为2
2
,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线C1的上顶点重合.
(Ⅰ)求抛物线C2的方程;
(Ⅱ)过直线l:y=a(a为负常数)上任意一点M向抛物线C2引两条切线,切点分别为AB,坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)由已知可得双曲线焦距,由离心率,可求长轴长,从而可得双曲线的上顶点为(0,1),故可求抛物线C2的方程;
(Ⅱ)设M(m,a),A(x1
1
4
x12
),B(x2
1
4
x22
),求出切线方程,可得x1,x2是方程4a=2xm-x2的两个不同的根,利用韦达定理及坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,可得不等式,从而可求实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由已知得双曲线焦距为2
2
,离心率为
2
,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为(0,1),所以抛物线C2的方程为x2=4y;
(Ⅱ)设M(m,a),A(x1
1
4
x12
),B(x2
1
4
x22
),故直线MA的方程为y-
1
4
x12=
1
2
x1(x-x1)
,即4y=2x1x-x12
所以4a=2x1m-x12,同理可得:4a=2x2m-x22
即x1,x2是方程4a=2xm-x2的两个不同的根,所以x1x2=4a
∴x1x2+y1y2=x1x2+
1
16
(x1x22=4a+a2
∵坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,
∴4a+a2<0,即-4<a<0.
点评:本题考查抛物线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查抛物线的切线,考查韦达定理的运用,属于中档题.
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