题目内容
离心率为
的双曲线C1:
-
=1上的动点P到两焦点的距离之和的最小值为2
,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线C1的上顶点重合.
(Ⅰ)求抛物线C2的方程;
(Ⅱ)过直线l:y=a(a为负常数)上任意一点M向抛物线C2引两条切线,切点分别为AB,坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,求实数a的取值范围.
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y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
2 |
(Ⅰ)求抛物线C2的方程;
(Ⅱ)过直线l:y=a(a为负常数)上任意一点M向抛物线C2引两条切线,切点分别为AB,坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)由已知可得双曲线焦距,由离心率,可求长轴长,从而可得双曲线的上顶点为(0,1),故可求抛物线C2的方程;
(Ⅱ)设M(m,a),A(x1,
x12),B(x2,
x22),求出切线方程,可得x1,x2是方程4a=2xm-x2的两个不同的根,利用韦达定理及坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,可得不等式,从而可求实数a的取值范围.
(Ⅱ)设M(m,a),A(x1,
1 |
4 |
1 |
4 |
解答:解:(Ⅰ)由已知得双曲线焦距为2
,离心率为
,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为(0,1),所以抛物线C2的方程为x2=4y;
(Ⅱ)设M(m,a),A(x1,
x12),B(x2,
x22),故直线MA的方程为y-
x12=
x1(x-x1),即4y=2x1x-x12,
所以4a=2x1m-x12,同理可得:4a=2x2m-x22,
即x1,x2是方程4a=2xm-x2的两个不同的根,所以x1x2=4a
∴x1x2+y1y2=x1x2+
(x1x2)2=4a+a2
∵坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,
∴4a+a2<0,即-4<a<0.
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(Ⅱ)设M(m,a),A(x1,
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所以4a=2x1m-x12,同理可得:4a=2x2m-x22,
即x1,x2是方程4a=2xm-x2的两个不同的根,所以x1x2=4a
∴x1x2+y1y2=x1x2+
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∵坐标原点O恒在以AB为直径的圆内,
∴4a+a2<0,即-4<a<0.
点评:本题考查抛物线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查抛物线的切线,考查韦达定理的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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的双曲线:32y2-mx2=1的一个焦点,正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上,C,D两点在直线y=x-4上,则该正方形的面积是( )
2 |
A、18或25 | B、9或25 |
C、18或50 | D、9或50 |