题目内容
【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若,求函数
的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数,对于曲线
上的两个不同的点
,
,记直线
的斜率为
,若
,证明:
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先确定函数定义域,再求导函数,进而求定义区间上导函数的零点2,最后列表分析导函数符号:当
时,
,确定单调增区间为
.(2)极点偏移问题,关键构造函数:先转化所证不等式
为
,因为
,所以转化研究函数
单调性,易得在
上单调递增,即得结论.
试题解析:(Ⅰ)依题意,
.
令,即
,解得
,
故函数的单调递增区间为
.
(Ⅱ)依题意,
,
.
由题设得
.
又
,
所以
.不妨设
,
,则
,则
.
令
,则
,所以
在
上单调递增,所以
,故
.又因为
,因此
,即
.
又由知
在
上单调递减,
所以,即
.
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练习册系列答案
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【题目】某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1:
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理, 得到下表2:
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:对于线性回归方程,其中
)