Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣mx（m∈R）． （Ⅰ）当m=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当b＞a＞0时，总有 ＞1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）m=0即f（x）= ，令f′（x）= ， x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（﹣∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	递增		递减

∴函数f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）∵b＞a＞0时，总有 ＞1成立，
即函数h（x）=f（x）﹣x在区间（0，+∞）递增，
由h（x）= ﹣（m+1）x，（x＞0）得h′（x）= ﹣（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤ ﹣1在区间（0，+∞）恒成立，
设k（x）= ﹣1，则k′（x）= ，令k′（x）=0，则x=2，
故x∈（0，2）时，k′（x）＜0，函数k（x）在（0，2）递减，
x∈（2，+∞）时，k′（x）＞0，函数k（x）在（2，+∞）递增，
故k（x）min=k（2）=﹣1﹣ ，
故m的范围是m≤﹣1﹣
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）由函数h（x）=f（x）﹣x在区间（0，+∞）递增，问题转化为m≤ ﹣1在区间（0，+∞）恒成立，设k（x）= ﹣1，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．