题目内容
已知a，b＞0，且a+b=1，求证：（Ⅰ）
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
（Ⅱ）
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
分析：（Ⅰ）利用a+b=1，通过重要不等式以及基本不等式，推出
≥4，然后证明
+
≥8；
（Ⅱ）利用a+b=1，利用1的代换，转化
+
+
为
+
，利用基本不等式即可求证结果．
| 1 |
| ab |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
（Ⅱ）利用a+b=1，利用1的代换，转化
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
解答：证明：（Ⅰ）∵ab≤（
）2=
，当且仅当a=b时等号成立，
∵a+b=1，a=b=
，∴
≥4．
∵
+
≥
≥8，当且仅当a=b=
时等号成立，
∴
+
≥8．（5分）
（Ⅱ）∵
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=2（a+b）（
+
）
=4+2（
+
）
≥4+4
=8，当且仅当a=b=
时等号成立，
∴
+
+
≥8．（10分）
| a+b |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∵a+b=1，a=b=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| ab |
∵
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 2 |
| ab |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
（Ⅱ）∵
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a+b |
| ab |
=
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
=2（a+b）（
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
=4+2（
| b |
| a |
| a |
| b |
≥4+4
|
=8，当且仅当a=b=
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
点评：利用基本不等式以及重要不等式以及“1”的代换，注意“正、定、等”的应用．
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