题目内容
(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[
,e])的值域.
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[
1 | e |
分析:(1)根据已知中f(x)=-ax+b+axlnx,求出f(e)=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)求出导数f'(x)=alnx,利用导数与单调性的关系,分a>0,a<0两种情形求解.
(3)当a=1时,f′(x)=ln,,求出导函数零点后,利用零点分段法,分类讨论后,即可得到函数f(x)的值域.
(2)求出导数f'(x)=alnx,利用导数与单调性的关系,分a>0,a<0两种情形求解.
(3)当a=1时,f′(x)=ln,,求出导函数零点后,利用零点分段法,分类讨论后,即可得到函数f(x)的值域.
解答:解:(1)由f(e)=-ae+b+aelne=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx.从而f′(x)=alnx.因为a≠0,故:
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1;
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1.
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx.
由(2)可得,当x在区间内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
又2-
<2,所以函数f(x)(x∈)的值域为[1,2].
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx.从而f′(x)=alnx.因为a≠0,故:
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1;
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1.
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx.
由(2)可得,当x在区间内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x |
|
(
|
1 | (1,e) | e | ||||
f′(x) | - | 0 | + | ||||||
f(x) | 2-
|
单调递减 | 极小值1 | 单调递增 | 2 |
1 |
e |
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题,属于中档、常规题.在(2)中涉及到了分类讨论的思想方法.

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