题目内容

定理：若函数f(x)在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f(m)f(n)＜0，则存在唯一一个x0∈(m，n)使f(x0)＝0．已知f(x)＝sinx(0≤x≤)．

(1)若g(x)＝f(cosx)－ax(0≤x≤)是减函数，求a的取值范围．

(2)是否存在c，d∈(0，)使f(cosc)＝c和cos[f(d)]＝d同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)

　　

　　依题意恒成立

　　即

　　显然

　　，故a的取值范围是　6分

　　(2)由(1)知：当a＝1时，上是减函数

　　且

　　∴存在唯一　8分

　　同理由上是减函数

　　且

　　知存在

　　即成立　10分

　　由

　　及的唯一性知

　　综上可知，存在c，d使同时成立，

　　且　12分


练习册系列答案
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已知凸函数的性质定理：“若函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有：”．若函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是

[　　]
A．

B．

C．

D．

（本题满分14分）

（理）已知数列{an}的前n项和，且=1，

.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

< f’(x)”．若且函数y=xn+1在(0,+∞)上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；

（III）求证：≤bn<2.

 

（本题满分14分）

（理）已知数列{an}的前n项和，且=1，

.（I）求数列{an}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

< f’(x)”．若且函数y=xn+1在(0,+∞)上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；

（III）求证：≤bn<2.

 

 

（理）已知数列{an}的前n项和，且=1，

.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

< f’(x)”．若且函数y=xn+1在(0,+∞)上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；

（III）求证：≤bn<2.

(文)如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

（I）求点M的轨迹方程；

（II）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于

         点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为

         锐角三角形时t的取值范围．

 

 

 

 

已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.

（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；

（2）证明：对任意实数0<x1<x2<1, 关于x的方程：

在（x1,x2）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

当0<a<b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）

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