题目内容

【题目】已知函数f(x)=1+2sinxcosx+2cos2x.
(1)求f(x)递增区间;
(2)求f(x)的对称轴方程;
(3)求f(x)的最大值并写出取最大值时自变量x的集合.

【答案】
(1)解:函数f(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1= sin(2x+ )+2.

+2kπ≤2x+ +2kπ,解得 ≤x≤ +kπ(k∈Z),

∴f(x)递增区间为[ +kπ](k∈Z)


(2)解:由2x+ =kπ+ ,解得x= + (k∈Z),

∴f(x)的对称轴方程为:x= + (k∈Z)


(3)解:当2x+ =2kπ+ ,解得x=kπ+ (k∈Z),f(x)max= +2.

∴f(x)取最大值时自变量x的集合为{x|x=kπ+ (k∈Z)}


【解析】(1)利用倍角公式、和差公式可得函数f(x)= sin(2x+ )+2.令 +2kπ≤2x+ +2kπ,解出即可得出f(x)递增区间.(2)由2x+ =kπ+ ,解出x即可得出.(3)当2x+ =2kπ+ ,解得x=kπ+ (k∈Z),可得f(x)max= +2.

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