Question

12．（1）计算：log₃$\frac{\root{4}{27}}{3}$+lg25+lg4+${log_7}{7^2}$+log₂3•log₃4；
（2）设集合A={x|$\frac{1}{32}$≤2^-x≤4}，B={x|m-1＜x＜2m+1}．若A∪B=A，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算性质即可求出，
（2）先化简集合A，在分类讨论即可求出m的范围．

解答 解：（1）log₃$\frac{\root{4}{27}}{3}$+lg25+lg4+${log_7}{7^2}$+log₂3•log₃4=$lo{g}_{3}{3}^{-\frac{1}{4}}$+lg100+2+$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=-$\frac{1}{4}$+2+2+2=$\frac{23}{4}$．
（2）设集合A={x|$\frac{1}{32}$≤2^-x≤4}=[-2，5]，B={x|m-1＜x＜2m+1}．
∵A∪B=A，
∴B⊆A，
当B=∅时，即m-1≥2m+1时，解得m≤-2，满足题意，
当B≠∅时，则$\left\{\begin{array}{l}{m-1＜2m+1}\\{m-1≥-2}\\{2m+1≤5}\end{array}\right.$解得-1≤m≤2，
综上所述m的取值范围为（-∞，-2]∪[-1，2]

点评 本题考查了对数的运算和性质和集合与集合之间的关系，属于基础题．