题目内容

设等比数列{an}的前n项和为Sn，等差数列bn的前n项和为Tn，已知Sn=2n+1-c+1（其中c为常数），b1=1，b2=c．
（1）求常数c的值及数列{an}，bn的通项公式an和bn．
（2）设dn=
bn
an
，设数列dn的前n项和为Dn，若不等式m≤Dn＜k对于任意的n∈N*恒成立，求实数m的最大值与整数k的最小值．
（3）试比较
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
与2的大小关系，并给出证明．
分析：（1）由题设知，Sn-1=2n-c+1，an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22-c+1=5-c，所以c=3，
从而bn=2n-1．
（2）由dn=
2n-1
2n
，知Dn=d1+d2+d3+d4+…+dn-1+dnDn=
1
21
+
3
22
+
5
23
+
7
24
++
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
，再用错位相减法求出Dn=3-
2n+3
2n
．然后利用Dn是单调递增的，求实数m的最大值和整数k的最小值．
（3）由bn=2n-1得Tn=n2，
1
Tn
=
1
n2
＜
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
，所以由裂项求和法知
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
++
1
Tn
＜2．
解答：解：（1）由题可得当n≥2时，Sn-1=2n-c+1
从而an=Sn-Sn-1=2n（n≥2），
又由于{an}为等比数列，所以an=2n（n∈N*），
所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22-c+1=5-c
所以c=3，从而bn=2n-1

（2）由（1）得dn=
2n-1
2n

所以Dn=d1+d2+d3+d4++dn-1+dnDn=
1
21
+
3
22
+
5
23
+
7
24
++
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
①
从而
1
2
Dn=
1
22
+
3
23
+
5
24
+
7
25
++
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
②
①-②得
1
2
Dn=
1
21
+
2
22
+
2
23
+
2
24
++
2
2n
-
2n-1
2n+1

解得Dn=3-
2n+3
2n

由于Dn是单调递增的，且
2n+3
2n
＞0，所以D1≤Dn＜3，即
1
2
≤Dn＜3
所以实数m的最大值为
1
2
，整数k的最小值为3．

（3）由bn=2n-1可求得Tn=n2，
当n≥2时，
1
Tn
=
1
n2
＜
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n

所以
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
++
1
Tn
=1+(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)++(
1
n-1
-
1
n
)=2-
1
n
＜2
所以
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
++
1
Tn
＜2
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的运用．
练习册系列答案
相关题目
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（　　）
A、
a5
a3
B、
S5
S3
C、
an+1
an
D、
Sn+1
Sn
12、设等比数列{an}的前n项和为Sn，巳知S10=∫03（1+2x）dx，S20=18，则S30=
21
．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3=3，则S9：S6=
 
．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
S6
S3
=3，则
S9
S6
=（　　）
A、
1
2
B、
7
3
C、
8
3
D、1
设等比数列{an}的前n 项和为Sn，若
S6
S3
=3，则
S9
S3
=
7
7
．

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