Question

设0＜x＜1，a＞0，a≠1，比较|log_a（1-x）|与|log_a（1+x）|的大小（要写出比较过程）．

Answer 1

分析：此题有两种比较大小的方法①做差比较大小②做商比较大小，解本题的另一关键不要忽视对a的分类讨论．

解答：解一：当a＞1时，
|log_a（1-x）|=-log_a（1-x），|log_a（1+x）|=log_a（1+x），
|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=-[log_a（1-x）+log_a（1+x）]=-log_a（1-x²）．
∵a＞1，0＜1-x²＜1，∴-log_a（1-x²）＞0，
∴|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
当0＜a＜1时，
|log_a（1-x）|=log_a（1-x），|log_a（1+x）|=-log_a（1+x），
|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=log_a（1-x²）．
∵0＜a＜1，0＜1-x²＜1，∴log_a（1-x²）＞0，
∴|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
因此当0＜x＜1，a＞0，a≠1时，总有|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．

解二：∵

|loga(1-x)|

|loga(1+x)|

=|

loga(1-x)

loga(1+x)

|=|log1+x(1-x)|，
∵1+x＞1，0＜1-x＜1，
原式=-log1+x(1-x)=log1+x

1

1-x

=log1+x

1+x

1-x2

=1-log1+x(1-x2)
∵1+x＞1，0＜1-x²＜1，log_1+x（1-x²）＜0
∴原式＞1，即

|loga(1-x)|

|loga(1+x)|

＞1，
∴|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．

点评：本题考查比较大小的问题，且两种常见方法①做差比较大小②做商比较大小，均适用，具有代表性，同时考查了对数的运算及对底数的讨论，比较典型．