Question

（1）设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|log_a（1-x）|和|log_a（1+x）|的大小；

（2）设a＞0，x=

1

2

（a

1

n

-a-

1

n

），试求(x+

1+x2

)n的值．

Answer 1

分析：（1）由于|log_a（1-x）|和|log_a（1+x）|都大于零，再由 0＜x＜1可得 log_（1+x）（1-x）＜0．化简

|loga(1-x)|

|loga(1+x)|

为log(1+x)

1+x

1-x2

＞1，从而得到|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
（2）根据 x=

1

2

（a

1

n

-a-

1

n

），化简 1+x² 为(a

1

n

+a-

1

n

)2，从而得

1+x2

=

a 1 n +a- 1 n

2

，代入要求的式子化简得到结果．

解答：解：（1）由于|log_a（1-x）|和|log_a（1+x）|都大于零，再由 0＜x＜1可得0＜1-x＜1，1+x＞1，故 log_（1+x）（1-x）＜0．
由于

|loga(1-x)|

|loga(1+x)|

=|log_（1+x）（1-x）|=-log_（1+x）（1-x）=log(1+x) (

1

1-x

)=log(1+x)

1+x

1-x2

，再由上可得  0＜1-x²＜1，∴

1+x

1-x2

＞1+x，
∴log(1+x)

1+x

1-x2

＞log_（1+x）（1+x）=1，∴|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
（2）∵x=

1

2

（a

1

n

-a-

1

n

），∴1+x²=1+

1

4

（a

2

n

-2 + a-

2

n

）=

1

4

（a

2

n

+2 + a-

2

n

）=

1

4

(a

1

n

+a-

1

n

)2，故

1+x2

=

a 1 n +a- 1 n

2

，
∴(x+

1+x2

)n=[

1

2

(a

1

n

-a-

1

n

)+

1

2

(a

1

n

+a-

1

n

)]n=(a

1

n

)n=a．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，用作商比较法比较两个正数的大小，分数指数幂的运算性质的应用，求得

1+x2

=

a 1 n +a- 1 n

2

，是解题的关键，属于中档题．