题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)求函数的极值;
(3)若函数有两个零点,求a的范围.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为
(2)答案不唯一,具体见解析(3)
【解析】
(1)当时,求导得出
,令导函数大于0和小于0,即可求出
的单调区间;
(2)求导得,
,分类讨论当
和
时,利用导函数求出
的单调性,结合单调性可求出函数
的极值;
(3)由(2)可知当时,
在
上单调递增,不可能有两个零点;当
时,函数有极大值
,令
,
,
,求出
的单调区间和最小值
,则
根据题意讨论当
和当
时存在另外一个零点,构造新函数
,通过新函数的单调性和最值,结合分类讨论思想,即可求出函数
有两个零点时,求a的范围.
(1),
.
由得
,由
得
.
所以的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2),
,
当时,
,
在
上单调递增,无极值;
当时,
,
,
在
上单调递增;
,
,
在
上单调递减;
函数有极大值,无极小值.
(3)由(2)可知当时,
在
上单调递增,不可能有两个零点;
当时,函数有极大值
,
令,
,
,
,
,
在
上单调递减;
在
上单调递增;
函数有最小值
.
要使函数有两个零点,必须满足
且
,
下面证明:且
时,函数有两个零点.
因为,所以下面证明
还有另一个零点.
①当时,
,
,
令,
,
在
上单调递减,
,则
,
所以在
上有零点,又
在
上单调递减,
所以在
上有唯一零点,从而
有两个零点.
②当时,
,
,
易证,可得
,
所以在
上有零点,又
在
上单调递减,
所以在在
上有唯一零点,从而
有两个零点.
综上,a的取值范围是.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为评估两套促销活动方案(方案1运作费用为5元/件;方案2的运作费用为2元件),在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案),运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示.
(1)请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由);
(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用),为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价(单位:元/件,整数)和销量
(单位:件)
如下表所示:
售价 | 33 | 35 | 37 | 39 | 41 | 43 | 45 | 47 |
销量 | 840 | 800 | 740 | 695 | 640 | 580 | 525 | 460 |
①请根据下列数据计算相应的相关指数,并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合;
②根据所选回归模型,分析售价定为多少时?利润
可以达到最大.
52446.95 | 13142 | 122.89 | |
124650 |
(附:相关指数)
【题目】棉花的优质率是以其纤维长度来街量的,纤维越长的棉花晶质越高.棉花的品质分类标准为:纤维长度小于等于的为粗绒棉,纤维长度在
的为细绒棉,纤维长度大于
的为长绒棉,其中纤维长度在
以上的棉花又名“军海1号”.某采购商从新疆某一棉花基地抽测了
根棉花的纤维长度,得到数据如下图频率分布表所示:
纤维长度 | ||||
根数 |
(1)若将频率作为概率, 根据以上数据,能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的以上”的要求?
(2)用样本估计总体, 若这批榨花共有,基地提出了两种销售方案给采购商参考.方案一:不分等级卖出,每千克按
元计算,方案二:对
棉花先分等级再销售,分级后不同等级的棉花售价如下表:
纤维长度 | ||||
售价 |
从来购商的角度,请你帮他决策一下该用哪个方案.
(3)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花,再从此根棉花中抽取两根进行检验.求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率.