Question

15．试推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$．

Answer 1

分析 运用椭圆的定义：到两定点F₁（0，-c），F₂（0，c）（c＞0）距离之和为定值2a（a＞c）的点P的轨迹为椭圆．设P（x，y），由两点间的距离公式，运用移项和两边平方，化简整理，再令a²-c²=b²，即可得到所求椭圆方程．

解答 解：到两定点F₁（0，-c），F₂（0，c）（c＞0）距离之和
为定值2a（a＞c）的点P的轨迹为椭圆．
设P（x，y），则$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{{（y-c）}^2}}$
∴$2a-\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}=\sqrt{{x^2}+{{（y-c）}^2}}$，
∴${（2a-\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}）^2}={\sqrt{{x^2}+{{（y-c）}^2}}^2}$，
∴$4{a^2}+{x^2}+{（y+c）^2}-4a\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}={x^2}+{（y-c）^2}$
∴$4{a^2}+{x^2}+{（y+c）^2}-4a\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}={x^2}+{（y-c）^2}$，
∴$a+\frac{c}{a}y=\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}$（由定义可得y∈[-a，a]，所以$a+\frac{c}{a}y＞0）$，
∴${a^2}+2cy+\frac{c^2}{a^2}{y^2}={x^2}+{（y+c）^2}$
∴${x^2}+\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}{y^2}={a^2}-{c^2}$，即$\frac{x^2}{{{a^2}-{c^2}}}+\frac{y^2}{a^2}=1$，
又a＞c，不妨令a²-c²=b²，
∴焦点在y轴上的椭圆的标准方程：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．

点评 本题考查椭圆的方程的推导，注意运用定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．