如图.过原点O的直线l1.l2分别与x轴.y轴成30°的角.点P(m.n)在l1上运动.点Q(p.q)在l2上运动.且$|PQ|=2\sqrt{2}$．的轨迹C的方程,(Ⅱ)设A.B是轨迹C上不同两点.且${k {OA}}•{k {OB}}=-\frac{1}{3}$.(ⅰ)求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，过原点O的直线l₁，l₂分别与x轴，y轴成30°的角，点P（m，n）在l₁上运动，点Q（p，q）在l₂上运动，且$|PQ|=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求动点M（m，p）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A，B是轨迹C上不同两点，且${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{3}$，
（ⅰ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围；
（ⅱ）判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．

分析（Ⅰ）由题意得到直线l₁，l₂的方程，进一步得到P，Q的坐标，由$|PQ|=2\sqrt{2}$列式求得动点M（m，p）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设出A，B的坐标，当直线l的斜率不存在时，由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{3}$得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求得$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$；
（ⅱ）当直线l的斜率不存在时直接求△OAB的面积，斜率存在时，由三角形面积公式结合m²=1+3k²求面积．

解答解：（Ⅰ）由题意知${l_1}：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x，{l_2}：y=-\sqrt{3}x$，
∴${P_{\;}}（m，\frac{{\sqrt{3}}}{3}m），Q（p，-\sqrt{3}p）$，由$|PQ|=2\sqrt{2}$，得${（m-p）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}m+\sqrt{3}p）^2}=8$，整理得$\frac{m^2}{6}+\frac{{p_{\;}^2}}{2}=1$．
∴动点M的轨迹C的方程$\frac{m^2}{6}+\frac{p^2}{2}=1$；
（Ⅱ）（ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）所在直线为l，
当l斜率不存在时，则A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），∴${k_{OA}}=\frac{y_1}{x_1}，{k_{OB}}=-\frac{y_1}{x_1}$，
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{{{y_1}^2}}{{{x_1}^2}}=-\frac{1}{3}⇒{x_1}^2=3y_1^2$，
又$\frac{{{x_1}^2}}{6}+\frac{{{y_1}^2}}{2}=1$，∴${y_1}^2=1$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2y_1^2=2$；
当l斜率存在时，设l方程y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+3{y^2}=6\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
∴△=36k²m²-12（3k²+1）（m²-2）=12（6k²-m²+2）＞0…①
且${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$．
由${k}_{OA}•{k}_{OB}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{3}$，得x₁x₂=-3y₁y₂=-3（kx₁+m）（kx₂+m），
得：$（1+3{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+3km（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{m}^{2}=0$．
整理得m²=1+3k²…②
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{2}{3}{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{{1+3{k^2}}}=\frac{{2{m^2}-4}}{m^2}=2-\frac{4}{m^2}$，
由①，②得m²=1+3k²≥1，
∴$0＜\frac{4}{m^2}≤4$，则$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＜2$．
∵${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{3}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≠0$．
综上：$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≠0$．
（ⅱ）由（ⅰ）知，l斜率不存在时，${S_{△OAB}}=|{x_1}{y_1}|=\sqrt{3}y_1^2=\sqrt{3}$，
当l斜率存在时，
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}|m|\frac{\sqrt{2+6{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$
将m²=1+3k²带入整理得${S_{△OAB}}=\sqrt{3}$．
∴△OAB的面积为定值$\sqrt{3}$．