Question

已知函数f（x）=a（x-1）+lnx；
（1）若f（x）≥0在其定义域上恒成立，求a的取值所构成的集合；
（2）在函数f（x）的图象任意给定相异两点A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂）），其中x₁＜x₂，是否总存在x₀∈（x₁，x₂）使得f′（x₀）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

？请说明理由！

Answer 1

分析：（1）f（x）≥0在其定义域上恒成立转化为f（x）_min＞0，从而可用导数求解f（x）的最小值．
（2）令g（x）=f′（x）-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，则问题转化为判断函数g（x）在（x₁，x₂）上是否存在零点x₀ ，从而可利用函数存在零点的条件进行判断．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

，
①当a≥0时，f′（x）＞0，所以f（x）在定义域内单调递增，又f（1）=0，所以当0＜x＜1时，f（x）＜0，故a≥0不合题意；
②当a＜0时，令f′（x）=0，得x=-

1

a

，当0＜x＜-

1

a

时，f′（x）＞0，f（x）在（0，-

1

a

）上单调递增；当x＞-

1

a

时，f′（x）＜0，f（x）在（-

1

a

，+∞）上单调递减．
若-

1

a

＜1即a＜-1，则x＞1时，f（x）＜f（1）=0，故a＜-1不合题意；若-

1

a

＞1，即-1＜a＜0，则x＜1时，f（x）＜f（1）=0，故-1＜a＜0不合题意．
综上，a的取值构成的集合为∅．
（2）

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

[a(x1-1)+lnx1]-[a(x2-1)+lnx2]

x1-x2

=

a(x1-x2)+ln x1 x2

x1-x2

=a+

ln x1 x2

x1-x2

．
f′（x）=a+

1

x

，令g（x）=f′（x）-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=（a+

1

x

）-（a+

ln x1 x2

x1-x2

）=

1

x

-

ln x1 x2

x1-x2

．
则g（x₁）=

1

x1

-

ln x1 x2

x1-x2

=

x2( x1 x2 ln x1 x2 - x1 x2 +1)

x1(x2-x1)

，g（x₂）=

1

x2

-

ln x1 x2

x1-x2

=

x1( x2 x1 ln x2 x1 - x2 x1 +1)

x2(x1-x2)

．
令h（t）=tlnt-t+1，则h′（t）=lnt，令h′（t）=0，则t=1，当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；当t＞1时，h′（t）＞1，h（t）单调递增．
所以当t≠1时，h（t）＞h（1）=0，从而

x1

x2

ln

x1

x2

-

x1

x2

+1＞0，

x2

x1

ln

x2

x1

-

x2

x1

+1＞0．又

x2

x1(x2-x1)

＞0，

x1

x2(x1-x2)

＜0，
所以g（x₁）＞0，g（x₂）＜0，因为函数g（x）在[x₁，x₂]上的图象是连续不断的一条曲线，
所以总存在x₀∈（x₁，x₂）使g（x₀）=0，即f′（x₀）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力、分析解决问题的能力，同时考查函数与方程思想．