Question

6．求函数y=2x+1+$\sqrt{1-2x}$的定义域和值域．

Answer 1

分析 本题先根据无理式有意义，得到x的取值范围，得到函数定义域，再利用换元法将无理式t=$\sqrt{1-2x}$将原函数转化为二次函数在区间[0，+∞）上的值域，结合二次函数的图象，求出其做值域，得到本题结论．

解答 解：∵函数y=2x+1+$\sqrt{1-2x}$，
∴1-2x≥0，
∴x≤$\frac{1}{2}$，
∴函数的定义域为{x|x≤$\frac{1}{2}$}．
令t=$\sqrt{1-2x}$（t≥0），则x=$\frac{1{-t}^{2}}{2}$，
∴y=1-t²+1+t，
∴y=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵t≥0，
∴当t=$\frac{1}{2}$即x=$\frac{\sqrt{6}}{4}$时，函数取得最大值y_max=$\frac{9}{4}$，
∴函数的值域为（-∞，$\frac{9}{4}$]．

点评 本题考查了函数的定义域、值域，还考查了换元法和化归转化思想，本题难度不大，属于基础题．