题目内容

已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立，且g（-1）=0，令 $数学公式$ ．
（I）求g（x）的表达式；
（II）若?x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（III）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

解（I）设g（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由题意令x=1得0≤g（1）≤0∴g（1）=0，
∴ $\text{[math]}$ 得b=0，a+c=0，
∵x-1≤g（x）≤x²-x对?x∈R恒成立，
∴ax²-a≥x-1和ax²-a≤x²-x恒成立，
得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（II） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
当m＞0时，f（x）的值域为R
当m=0时， $\text{[math]}$ 恒成立
当m＜0时，令 $\text{[math]}$

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小	↗

这时 $\text{[math]}$
若?x＞0使f（x）≤0成立则只须f（x）_min≤0即m≤-e，
综上所述，实数m的取值范围（-∞，-e）∪（0，+∞）．

（III）∵ $\text{[math]}$ ，所以H（x）在[1，m]单减
于是 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
所以函数h（m）在[1，e]是单增函数
所以 $\text{[math]}$
故命题成立．
分析：（I）直接设出g（x）的表达式，利用不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立，可得g（1）=0与g（-1）=0相结合可得b=0，a+c=0；再代入利用不等式x-1≤g（x）≤x²-x恒成立求出a即可．
（II）先求出函数f（x）的表达式，在对实数m分情况求出对应函数f（x）的值域，让实数m与函数f（x）的最小值比较即可求实数m的取值范围；
（III）先求出函数H（x）在[1，m]单减，进而得 $\text{[math]}$ ，转化为求 $\text{[math]}$ 的最大值问题即可．
点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求法，是对函数以及导函数知识的综合考查，是有难度的题．