题目内容
已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=
（a为常数）．（1）若对于任意的x1≠-1，有xn+2=xn对于任意的n∈N*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．
【答案】分析：（1）求出xn+2，代入xn+1化简后等于xn，得到a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得得到a的值即可；
（2）数列为递减数列，因为当a=1且x1＞1得到xn＞0，而xn+1-xn=
-xn=-
＜0，所以得证；
（3）由a=2得到数列{xn}满足xn+1=
，因为{xn}是有穷数列，可以令x1=-
得到即可．
解答：解：（1）∵xn+2=
=
=
=xn
∴a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得
，∴a=-1．
（2）数列{xn}是递减数列．
∵x1＞0.
∴xn＞0，n∈N*又xn+1-xn=
-xn=-
＜0，n∈N*，
故数列{xn}是递减数列．
（3）满足条件的真命题为：数列{xn}满足xn+1=
，若x1=-
，则{xn}是有穷数列．
点评：考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．
（2）数列为递减数列，因为当a=1且x1＞1得到xn＞0，而xn+1-xn=
-xn=-＜0，所以得证；（3）由a=2得到数列{xn}满足xn+1=
，因为{xn}是有穷数列，可以令x1=-得到即可．解答：解：（1）∵xn+2=
===xn∴a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得
，∴a=-1．（2）数列{xn}是递减数列．
∵x1＞0.
∴xn＞0，n∈N*又xn+1-xn=
-xn=-＜0，n∈N*，故数列{xn}是递减数列．
（3）满足条件的真命题为：数列{xn}满足xn+1=
，若x1=-，则{xn}是有穷数列．点评：考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．
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