题目内容
【题目】已知圆
：
，圆
：
，动圆
与圆和圆均内切.
（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（2）过点的直线
与轨迹交于
，
两点，过点且垂直于的直线交轨迹于两点
，
两点，求四边形
面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由两圆位置关系可得
，确定圆心
的轨迹
是以
，
为焦点，以4为长轴长的椭圆.由此可得轨迹方程；
（2）分类：当直线
的斜率不存在或为0时，直接求出面积，当直线的斜率存在且不为0时，不妨设其方程为：
，代入曲线的方程，整理后由韦达定理得
，由弦长公式求得弦长
，同理得
，计算面积
，利用基本不等式可得最小值．
解：（1）设点坐标为
，圆的半径为
.则
，
，
从而.
所以圆心的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆.
故动圆圆心的轨迹的方程为：.
（2）①当直线的斜率不存在或为0时，此时不妨设
，
，
此时
.
②当直线的斜率存在且不为0时，不妨设其方程为：，
，
，
联立
，
由
，
，
此时
.
同理得：
.
故
.
当且仅当“
”，即
时等号成立，又
.
故四边形
面积的最小值为.
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与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧开一壶水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于
的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
