Question

由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．
（I）求取出的数满足条件：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5，且k≠j），使得a_j=a_k”的概率；
（II）记ξ为组成这个数的相同数字的个数的最大值，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）由数字1，2，3，4组成的五位数共有4⁵个，数满足条件可分为两类，一类只由一个数字组成，共有4个，一类是由两个数字组成，共有C₄²•C₅²•2=120个，根据等可能事件的概率公式解之即可；
（II）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，然后分别求出相应的概率，列出ξ的分布列，最后利用离散型随机变量的期望公式解之即可．
解答：解：（I）由数字1，2，3，4组成的五位数共有4⁵个
数满足条件：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5），使得a_j=a_k”的五位数可分为两类：
（i）只由一个数字组成，如11111，22222，等共有4个；
（ii）由两个数字组成，如11122，11133等，共有C₄²•C₅²•2=120个
由（i）、（ii）知共有124个------（6分）
∴所求概率．------（7分）
（II）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5------（8分）



P（ξ=2）=1-[P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）]=------（12分）ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
P

∴Eξ=2•P（ξ=2）+3•P（ξ=3）+4•P（ξ=4）+5•P（ξ=5）=．------（14分）
点评：本题主要考查了离散型随机变量的数学期望和分布列，以及等可能事件的概率，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．