Question

17．（1）已知x＞2，求$y=x+\frac{3}{x-2}$的最小值；
（2）已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，求y=3x（1-2x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x-2＞0，变形可得$y=x+\frac{3}{x-2}$=x-2+$\frac{3}{x-2}$+2，应用基本不等式可得；
（2）由题意可得0＜1-2x＜1，变形可得y=3x（1-2x）=$\frac{3}{2}$•2x（1-2x），由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＞2，∴x-2＞0，
∴$y=x+\frac{3}{x-2}$=x-2+$\frac{3}{x-2}$+2
≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{3}{x-2}}$+2=2$\sqrt{3}$+2
当且仅当x-2=$\frac{3}{x-2}$即x=2+$\sqrt{3}$时等号成立．
∴当x=2+$\sqrt{3}$时函数取最小值2$\sqrt{3}$+2；
（2）∵$0＜x＜\frac{1}{2}$，∴0＜1-2x＜1
∴y=3x（1-2x）=$\frac{3}{2}$•2x（1-2x）
≤$\frac{3}{2}$•$（\frac{2x+1-2x}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$
当且仅当2x=（1-2x）即x=$\frac{1}{4}$时等号成立．
∴当x=$\frac{1}{4}$时，函数取最大值$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，变形凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．