题目内容
已知数列
的前
项和
满足
.
(1)写出数列
的前三项
;
(2)求数列
的通项公式;
(3)证明:对任意的整数
,有
.




(1)写出数列


(2)求数列

(3)证明:对任意的整数


(1) 由
由
由
(2)
(3)见解析.


由

(2)

(3)见解析.
.
(1)因为数列
的前
项和
满足
,那么对于n令值,边可以写出数列
的前三项
;
(2)根据前几项归纳猜想数列
的通项公式;再用数学归纳法加以证明。或者里利用迭代思想
,得到通项公式。
(3)利用放缩法得到求和,并证明不等式。
(1)为了计算前三项
的值,只要在递推式
中,对
取特殊值
,就可以消除解题目标与题设条件之间的差异.
由
由
由
(2)为了求出通项公式,应先消除条件式中的
.事实上
当
时,有
即有
从而

……

接下来,逐步迭代就有


经验证a1也满足上式,故知
其实,将关系式
和课本习题
作联系,容易想到:这种差异的消除,只要对
的两边同除以
,便得
.
令
就有
,
于是
,
这说明数列
是等比数列,公比
首项
,从而,得
,
即
,
故有
(3)由通项公式得
当
且n为奇数时, 

当
为偶数时,


当
为奇数时,
为偶数,可以转化为上面的情景

故任意整数m>4,有
(1)因为数列






(2)根据前几项归纳猜想数列


(3)利用放缩法得到求和,并证明不等式。
(1)为了计算前三项




由

由

由

(2)为了求出通项公式,应先消除条件式中的

当


即有

从而


……

接下来,逐步迭代就有


经验证a1也满足上式,故知

其实,将关系式





令


于是

这说明数列




即

故有

(3)由通项公式得

当



当




当



故任意整数m>4,有


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