Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c
（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b的值，利用f（-1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）f（x）是减函数等价于f′(x)=

1

x+2

-2x+b≤0，即b≤2x-

1

x+2

恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

1

x+2

-2x+b
∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，
∴f′（1）=

7

3

，∴

1

3

-2+b=

7

3

，∴b=4
又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，∴c=5  
∴f（x）=ln（x+2）-x²+4x-5，∴f′(x)=

1

x+2

-2x+4
由f′(x)=

1

x+2

-2x+4=0得x=

3 2

2

∴当x∈[0，

3 2

2

]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增
当x∈[

3 2

2

，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；
（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以f′(x)=

1

x+2

-2x+b≤0，即b≤2x-

1

x+2

恒成立
令t=2x-

1

x+2

，则t′=2+

1

(x+2)2

，
∴t=2x-

1

x+2

，在[0，1]上单调递增
∴t_min=-

1

2

所以当b≤-

1

2

时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．