Question

如图所示，在三棱锥A-BCD中，∠BDC为锐角，∠CBD=

π

6

，BC=2

3

，CD=AC=2，AB=AD=2

2

．
证明：（1）DC⊥BC；
（2）平面BAC⊥平面ACD；
（3）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理解△BCD，得sinBDC=

3

2

，结合∠BDC为锐角得∠BDC=

π

3

，由三角形内角和定理算出∠BCD=

π

2

，即得DC⊥BC；
（2）利用勾股定理的逆定理，证出AC⊥CD，结合BC⊥CD，从而证出CD⊥平面BAC，利用线面垂直判定定理即可证出平面BAC⊥平面ACD；
（3）利用题中数据证出△ABC为直角三角形，从而算出S_△ABC=2

2

，由锥体体积公式算出V_D-ABC=

4 2

3

．再利用解三角形知识算出△ABD的面积，利用等体积转换加以计算即可算出点C到平面ABD的距离．

解答：解：（1）在锐角△BCD中，∠CBD=

π

6

，BC=2

3

，CD=2，
∴由正弦定理

CD

sinCBD

=

BC

sinBDC

，得

2

sin π 6

=

2 3

sinBDC

解之得sinBDC=

3

2

，结合∠BDC为锐角可得∠BDC=

π

3

∴∠BCD=π-∠CBD-∠BDC=

π

2

，即DC⊥BC；
（2）在△ACD中，AC=CD=2，AD=2

2

，
得AC²+CD²=8=AD²，所以AC⊥CD
∵BC⊥CD，AC、BC是平面BAC内的相交直线
∴CD⊥平面BAC
∵CD?平面ACD，∴平面BAC⊥平面ACD；
（3）在△ABC中，AC=2，AB=2

2

，BC=2

3

，
∴AC²+AB²=BC²，得AB⊥AC
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC=2

2

由（2）知DC⊥平面ABC，故V_D-ABC=

1

3

×S_△ABC×CD=

4 2

3

Rt△BDC中，BD=

BC2+CD2

=4
在△ABD中，AB=AD=2

2

，所以AD²+AB²=BD²，故AB⊥AD
故S_△ABD=

1

2

×AB×AD=4
设点C到平面ABD的距离为h，
可得V_C-ABD=V_D-ABC，得

1

3

S_△ABD•h=

4 2

3

，
即

1

3

×4×h=

4 2

3

，解之得h=

2

，即点C到平面ABD的距离

2

．

点评：本题给出特殊三棱锥，求证线线垂直、面面垂直，并求锥体的体积，着重考查了解三角形的知识，考查了空间垂直位置关系的证明和锥体体积求法等知识，属于中档题．