Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若实数λ，μ满足a+b=λc，ab=μc²，则称数对（λ，μ）为△ABC的“Hold对”，现给出下列四个命题：
①若△ABC的“Hold对”为（2，1），则△ABC为正三角形；
②若△ABC的“Hold对”为(2，

8

9

)，则△ABC为锐角三角形；
③若△ABC的“Hold对”为(

7

6

，

1

3

)，则△ABC为钝角三角形；
④若△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，则以“Hold对”（λ，μ）为坐标的点构成的图形是矩形，其面积为

2 -1

2

．
其中正确的命题是______（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

∵△ABC的“Hold对”为（2，1），
∴

a+b=2c ab=c2

，
解得a=b=c，
∴△ABC为正三角形，
故①正确；
∵△ABC的“Hold对”为(2，

8

9

)，
∴

a+b=2c ab= 8 9 c2

，
解得a2+b2=

ab

2

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab 2 - 9 8 ab

2ab

=-

5

16

＜0，
∴△ABC为钝角三角形，故②不正确；
∵△ABC的“Hold对”为(

7

6

，

1

3

)，
∴

a+b= 7 6 c ab= 1 3 c2

，
解得a²+b²=25ab×

1

12

=

25

12

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

25 12 ab-3ab

2ab

=-

11

24

＜0，
∴△ABC为钝角三角形，故③正确；
△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，
则解得（λ，μ）之间满足一个关系式：“1+2μ=λ的平方”这样一个关系式，
图象是抛物线，不是矩形．故构成的图形不一定是矩形，
故④不正确．
故答案为：①③．