Question

A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂．根据市场分析，X₁和X₂的分布列分别为

X1	5%	10%		X2	2%	8%	12%
P	0.8	0.2		P	0.2	0.5	0.3

（Ⅰ）在A，B两个项目上各投资100万元，Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY₁，DY₂；
（Ⅱ）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值．（注：D（aX+b）=a²DX）

Answer 1

分析：（1）Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂的分布列，可以得到Y₁和Y₂的分布列，得到分布列，余下的问题只是运算问题，分别求出变量的方差．
（2）由题意知f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，写出用x表示的方差的解析式，结合二次函数的最值问题，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）∵Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，
根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂的分布列
可以得到Y₁和Y₂的分布列分别为

Y1	5	10		Y2	2	8	12
P	0.8	0.2		P	0.2	0.5	0.3

EY₁=5×0.8+10×0.2=6，
DY₁=（5-6）²×0.8+（10-6）²×0.2=4，
EY₂=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8，
DY₂=（2-8）²×0.2+（8-8）²×0.5+（12-8）²×0.3=12．

（Ⅱ）f(x)=D(

x

100

Y1)+D(

100-x

100

Y2)
=(

x

100

)2DY1+(

100-x

100

)2DY2
=

4

1002

[x2+3(100-x)2]
=

4

1002

(4x2-600x+3×1002)，
当x=

600

2×4

=75时，
f（x）=3为最小值．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．