题目内容

有两个投资项目A，B，根据市场调查与预测，A项目的利润与A项目的投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与B项目的投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）

（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资x（万元）的函数关系式；
（2）现将有10万元资金，将其中x（0≤x≤10）万元投资A项目，其余投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．
分析：（1）由于A产品的利润与投资成正比，可设y1=k1•x，从图1可以得到当x=1时，y1=0.25，当x=2时，y1=0.45，从而可以得到k1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，可设y2=k2•
x
，当x=4时，y2=2.5，当x=9时，y2=3.75，从而可得到k2；
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为w万元，w=A产品的利润+B产品的利润．
解答：解：（1）投资为x万元，A产品的利润为y1万元，B产品的利润为y2万元，
由题设y1=k1•x，y2=k2•
x
，由图知y1=
1
4
x，（x≥0），y2=
5
4
x
，（x≥0）

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为w万元
w=y1+y2=
x
4
+
5
4
10-x
，（0≤x≤10），
令
10-x
=t则 y=
10-t2
4
+
5
4
t=-
1
4
(t-
5
2
)2+
25
16
，（0≤t≤
10
）
当t=
5
2
，ymax≈4，此时x=10-
25
4
=3.75；
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为
65
16
万元．
点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．
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（2）现将有10万元资金，将其中x（0≤x≤10）万元投资A项目，其余投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．
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