题目内容
17.若直线y=kx与曲线f(x)=$\frac{lnx}{x}$相切,求实数k的值:分析 设出切点坐标P(a,$\frac{lna}{a}$),求出导函数y′,利用导数的几何意义即k=y′|x=a,再根据切点在切线上,列出关于a和k的方程组,求解即可求得k的值.
解答 解:设切点坐标为P(a,$\frac{lna}{a}$),
∵曲线y=$\frac{lnx}{x}$,
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
∴k=y′|x=a=$\frac{1-lna}{{a}^{2}}$,①
又∵切点P(a,$\frac{lna}{a}$)在切线y=kx上,
∴$\frac{lna}{a}$=ka,②
由①②,解得a=$\sqrt{e}$,k=$\frac{1}{2e}$,
∴实数k的值为$\frac{1}{2e}$.
点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程.导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
12.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2015)+f(2016)的值为( )
A. | 2 | B. | 1 | C. | -1 | D. | -2 |