题目内容

【题目】已知椭圆的中心为原点，左焦点为，离心率为，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.

（1）若为线段的中点，求直线的方程.

（2）若点是直线上一点，点在椭圆上，且满足，设直线与直线的斜率分别为，问: 是否为定值?若是.请求出的值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，

【解析】

(1)根据离心率和求出椭圆方程，根据点差法求得斜率，即可求解直线的方程.(2) 设点,根据和点在椭圆上表示出化简即可求解.

（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得

解得

故椭圆的方程为

设，易知

由于点都在椭圆上，所以所以

因为为线段的中点，所以

故直线的方程为，即.

（2）由（1）可知，直线,点

设点，易知.

因为所以，得

因为点在椭圆上，所以即

所以

所以的值是定值，且值为

练习册系列答案
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售出水量（单位：箱）

7

6

6

5

6

收入（单位：元）

165

142

148

125

150

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【题目】已知椭圆的中心为原点，左焦点为，离心率为，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.

（1）若为线段的中点，求直线的方程.

（2）求点是直线上一点，点在椭圆上，且满足，设直线与直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.

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表1：

编号\测试项目

1

2

3

4

5

1

×

√

√

√

√

2

√

√

√

√

×

3

√

√

√

√

×

4

√

√

√

×

×

5

√

√

√

√

√

6

√

×

×

√

×

7

×

√

√

√

×

8

√

×

×

×

×

9

√

√

×

×

×

10

√

√

√

√

×

规定：每项测试合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.

①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格的项数为，根据上面的测试结果统计表，列出的分布列，并估计这120名职工的平均得分；

②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率；

（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为，其中为第项测试难度，为第项合格的人数，为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）：

表2：

测试项目

1

2

3

4

5

实测合格人数

8

8

7

7

2

定义统计量，其中为第项的实测难度，为第项的预测难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：

表3：

测试项目

1

2

3

4

5

预测前预估难度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

判断本次测试的难度预估是否合理.

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