题目内容
【题目】已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求
的取值范围.
（2）设
的两个极值点为
，证明
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】试题分析：（1）极值点转化为导函数零点，即
在
有两个不同根.变量分离为
，利用导数可得函数
在
上单调减，在
上单调增，根据趋势可得函数
在
上范围为
，在
上范围为
，因此要有两解，需
，（2）利用导数证明不等式关键是构造恰当的函数： 
等价于
，而由零点可得
.代入化简得
，令
，则
，因此构造函数
，利用导数求其最小值为
，由于
，所以命题得证.
试题解析：（1）依题意，函数
的定义域为
，所以方程
在
有两个不同根.即方程
在
有两个不同根.
转化为，函数
与函数
的图象在
上有两个不同交点
又
，即
时， 
， 
时， 
，
所以
在
上单调增，在
上单调减，从而
.
又
有且只有一个零点是1，且在
时， 
，在
时， 
，
所以由
的图象，要想函数
与函数
的图象在
上有两个不同交点，只需
，即
（2）由（1）可知
分别是方程
的两个根，即
， 
，
设
，作差得， 
，即
.
原不等式
等价于
令
，则
， 
，
设
， 
， 
，
∴函数
在
上单调递增，∴
，
即不等式
成立，故所证不等式
成立.
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