题目内容

已知数列{a_n}的前五项依次是 $数学公式$ ．正数数列{b_n}的前n项和为S_n，且 $数学公式$ ．
（I）写出符合条件的数列{a_n}的一个通项公式；
（II）求S_n的表达式；
（III）在（I）、（II）的条件下，c₁=2，当n≥2时，设 $数学公式$ ，T_n是数列{c_n}的前n项和，且T_n＞log_m（1-2m）恒成立，求实数m的取值范围．

解：（I）由数列的前5项可得，符合条件的数列{a_n}的一个通项公式为 $\text{[math]}$ ．…（2分）
（II）因为 $\text{[math]}$ ，即S_n=b_n+ $\text{[math]}$ ，2b_n＞0，所以 $\text{[math]}$ ，解得b₁=1，即S₁=1．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，所以， $\text{[math]}$ ，∴. $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．…（5分）
所以， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，
累加可得 $\text{[math]}$ ．
所以， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．…..（8分）
（III）在（I）、（II）的条件下，c₁=2．
当n≥2时， $\text{[math]}$ ．
当n=1时，T₁=c₁=2；
当n≥2时， $\text{[math]}$ …．（10分）
因为T_n＞log_m（1-2m）恒成立，即log_m（1-2m）恒小于T_n的最小值．
显然，T_n的最小值在n=1时取得，且最小值为2，故有log_m（1-2m）＜2．…..（12分）
所以 $\text{[math]}$ ①，或 $\text{[math]}$ ②．
解①得， $\text{[math]}$ ，不等式组②无解．
故实数m的取值范围是 $\text{[math]}$ …．（14分）
分析：（I）由数列的前5项的特点，总结归纳可得符合条件的数列{a_n}的一个通项公式．
（II）由S_n=b_n+ $\text{[math]}$ ，求得b₁=1，可得S₁=1．当n≥2时，由b_n=S_n-S_n-1，得 $\text{[math]}$ ，化简得 $\text{[math]}$ ．用累加法求得， $\text{[math]}$ ，从而求得S_n的表达式．
（III）先求得T_n的解析式，由T_n＞log_m（1-2m）恒成立，可得log_m（1-2m）恒小于T_n的最小值，根据T_n的最小值在n=1时取得，且最小值为2．故有log_m（1-2m）＜2．
由此可得 $\text{[math]}$ ①，或 $\text{[math]}$ ②．分别求得①和②的解集，再取并集，即得所求．
点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，用累加法进行数列求和，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．