Question

从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．
（1）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（2）x为何值时，容积V有最大值．

Answer 1

由题意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴

x＞0 2a-2x＞0 x 2a-2x ≤t

∴0＜x≤

2at

1+2t

∴函数V（x）=4（a-x）²•x的定义域为 (0，

2at

1+2t

]
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得 x=

a

3

（1）当

a

3

≤

2at

1+2t

，即 t≥

1

4

时，
∵0＜x＜

a

3

时，V′＞0．
V（x）为增函数；

a

3

＜x≤

2at

1+2t

时，V′＜0．V（x）为减函数；
∴V（x）在 (0，

2at

1+2t

]上有极大值V（

a

3

），
∵x=

a

3

为唯一驻点，
∴当 x=

a

3

时，V有最大值

16

27

a3．
（2）当

a

3

＞

2at

1+2t

，即 0＜t＜

1

4

时，
∵0＜x＜

2at

1+2t

时，V′＞0恒成立；
∴V（x）为增函数；
∴当 x=

2at

1+2t

时，V有最大值

8a3t

(1+2t)3

．