Question

【题目】已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.

(1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，

当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；

当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈；

当－3<x<2时，有2x＋1≥3，解得1≤x<2.

综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．

(2)由绝对值不等式的性质可得，

||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，

则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.

若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.

所以a的取值范围是[－1，9]．