Question

已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，-3），点P的横坐标为14，且

OP

=λ

PB

，点Q是边AB上一点，且

OQ

•

AP

=0．
（1）求实数λ的值与点P的坐标；
（2）求点Q的坐标；
（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求

RO

•(

RA

+

RB

)的取值范围．

Answer 1

（1）设P（14，y），则

OP

=(14，y)，

PB

=(-8，-3-y)，由

OP

=λ

PB

，得（14，y）=λ（-8，-3-y），解得λ=-

7

4

，y=-7，所以点P（14，-7）．
（2）设点Q（a，b），则

OQ

=(a，b)，又

AP

=(12，-16)，则由

OQ

•

AP

=0，得3a=4b①又点Q在边AB上，所以

12

-4

=

b+3

a-6

，即3a+b-15=0②
联立①②，解得a=4，b=3，所以点Q（4，3）．
（3）因为R为线段OQ上的一个动点，故设R（4t，3t），且0≤t≤1，则

RO

=(-4t，-3t)，

RA

=(2-4t，9-3t)，

RB

=(6-4t，-3-3t)，

RA

+

RB

=(8-8t，6-6t)，则

RO

•(

RA

+

RB

)=-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t2-50t=50(t-

1

2

)2-

25

2

(0≤t≤1)，故

RO

•(

RA

+

RB

)的取值范围为[-

25

2

，0]．