Question

已知正项数列a_n满足：a₁=1，n≥2时，（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设a_n=2ⁿ•b_n，数列b_n的前n项和为S_n，是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*，m-3＜S_n＜m恒成立？若存在，求出所有的正整数m；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n得

a 2 n

n

=

a 2 n-1

n-1

+1，令Bn=

a 2 n

n

可得B_n-B_n-1=1，求出B_n=B₁+（n-1）d，利用其结论即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先利用错位相减法求出S_n的表达式，进而求出S_n的最大最小值（或范围）即可求出所有的正整数m．

解答：解：（1）由（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n
得

a 2 n

n

=

a 2 n-1

n-1

+1，令Bn=

a 2 n

n

∴B_n-B_n-1=1（n≥2）
∴B_n=B₁+（n-1）d
而B1=

a 2 1

1

=1
∴B_n=1+（n-1）•1=n即

a 2 n

n

=n
即a_n²=n²，
由正项数列知a_n=n（6分）
（2）由a_n=2ⁿ•b_n得bn=

n

2n

∴s_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

+

2

22

+

3

23

 +…+

n

2n

   ①

1

2

s_n=

1

22

+

2

23

 +…+

n

2n+1

   ②
①-②：

1

2

s_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

∴s_n=2-

n+2

2n

，sn+1=2-

n+3

2n+1

．
∴sn+1-sn=

n+1

2n+1

＞0．
∴S_n的min=S1=

1

2

而S_n的max→2
∴当m=2或m=3时
使m-3＜S_n＜m恒成立（13分）

点评：本题主要考查数列递推式的应用以及错位相减求和的应用，错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．